数学视角的操作系统

状态

• 多个 “应用程序” 状态机
  • 当然，可以是模型

初始状态

• 仅有一个 “main” 状态机
  • 这个状态机处于初始状态

迁移

• 选择一个状态机执行一步
  • 就像我们在操作系统模型上看到的那样

计算机系统中的不确定性 (non-determinism)

调度：状态机的选择不确定

• current = random.choice(self.procs)
• 操作系统每次可以随机选择一个状态机执行一步

I/O：系统外的输入不确定

• read 返回的结果也有两种可能性
• t = sys_read() 后，可能 $t=0$ 或 $t=1$

推论：我们得到了状态图

• $u \to v\Leftrightarrow u$ 可以通过一步迁移到达 $v$
• 当然，我们只关系 $s_0$ 可达的状态

你们学过的算法忽然更有用了

Breadth-first search 可以构建 “状态图”

Prove by Brute-force

想要证明程序的性质？

• 只要稍微 “修改” 一下模拟器的实现就行了

构建状态图，检查程序正确性

• read()：创建两个状态，分别是 $r=0$ 和 $r=1$
• 调度：为每个进程 $p$ 创建一个状态，对应选择 $p$ 执行
• 程序正确：不存在从 $s_0$ 可达的 “坏状态”
  • 例如：最终 buffer 中 A 和 B 的数量相同
  • “模型检查器”；Turing Award Lecture

Putting Them Together

模型

• 理论上，我们可以建模任何系统调用
• 当然，我们选择建模最重要的那些
  • Three Easy Pieces!

检查器

• 最简单的 BFS 就行 (只要能获得状态机的状态)

可视化

• 我们就是绘制一个顶点是状态的图 $G(V, E)$

于是，我们有了一个更复杂的玩具