数学视角的操作系统

状态

• 多个 “应用程序” 状态机
  • 当然，可以是模型

初始状态

• 仅有一个 “main” 状态机
  • 这个状态机处于初始状态

迁移

• 选择一个状态机执行一步
  • 就像我们在操作系统模型上看到的那样

计算机系统中的不确定性 (non-determinism)

调度：状态机的选择不确定

• 多处理器的 “选择” 是无法控制的
• 操作系统可以主动随机选择状态机执行一步

I/O：系统外的输入不确定

• read 返回的结果也有两种可能性

这样程序的执行就不是 “一条线” 了

• 从初始状态出发，可能有多个可能的 “下一个状态”

《离散数学》忽然更有用了

程序定义了状态机 $G(V, E)$

• 加上一个起点 $v_0$
• 再加上 $F \subseteq V$ 是 “坏” (faulty) 的状态
  • 程序正确 $\equiv$ 不存在从 $v_0$ 到 $v \in F$ 的路径

还记得你们怎么在 $G$ 里找路径吗

• DFS/BFS 啊！
• 恭喜你！你离图灵奖进了一步 (迈出了重要的第一步)
  • 要有一个疯狂的想法：软件是可以自动证明的
  • Turing Award Lecture: Model checking: algorithmic verification and debugging

插曲：如果你想得图灵奖？

需要找一个 tractable 的问题

• $F \subseteq V$ + 暴力枚举显然太 trivial 了
  • 我们有更好的方式表达规约 (temporal logic)
  • $\mathbf{G}(A \rightarrow \mathbf{F} B)$
    • “如果 A 发生，则最终 B 会发生”
    • 哦！你需要构建一个好的逻辑系统
• 提出一些有趣的检查算法

在软件系统里又是 useful 的

• 要走很多弯路，而且今天 temporal logic 也没落了
• 但 Verification 没有死，而且在 AI 时代肯定会走得更远

Putting Them Together

模型

• 理论上，我们可以建模任何系统调用
• 当然，我们选择建模最重要的那些
  • Three Easy Pieces!

检查器

• 最简单的 BFS 就行 (只要能获得状态机的状态)

可视化

• 我们就是绘制一个顶点是状态的图 $G(V, E)$

于是，我们有了一个更复杂的玩具